Théorème de Pythagore et trigonométrie 3ème année collège Biof

Théorème de Pythagore et trigonométrie 3ème année collège Biof: cours et exercice corrigé PDF

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Prérequis

-Puissance

-Equations

-Racines carrées

-Triangle rectangle et cercle

-Théorème de Pythagore direct

-Quadrilatère spéciaux

 Compétences

-Utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer des longueurs ;

-Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ;

-Connaître et utiliser les rapports trigonométriques pour résoudre les problèmes ;

-Utilisation de la calculatrice pour déterminer une valeur approchée des rapports trigonométriques d'un angle aigu et inversement.

 Prolongement

-Calcul trigonométrique

-Distance entre deux points dans un repère orthonormé

-Triangles semblables

-Géométrie dans l'espace

-Autres disciplines et surtout en sciences physiques

Orientations pédagogiques

Le cosinus est considérée comme l'une des prérequis de l'élève en deuxième année du collège, il convient donc de présenter un sinus d'angle aigu et une tangente d'angle aigu en s'appuyant sur les prérequis des élèves puis établir les deux relations :

`cos^2(x)+sin^2(x)=1` et  `\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)\}`

x est une mesure d'un angle aigu en degré

-Introduire et utiliser des relations métriques à travers des exercices sans être sujet du cours

-ABC est un triangle rectangle en A et H la projection orthogonal du point A sur (BC) ; alors :

`AB.AC=BC.AH` et `AH^2=HB.HC` 

-Le théorème de Pythagore devrait être appliqué au triangle rectangle équilatéral et au triangle équilatéral lors de la détermination de certaines longueurs et des rapports trigonométriques d'angle aigu

- Certains polygones réguliers peuvent être étudiés à travers des exercices

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore direct

 Propriété

Si ABC est un triangle rectangle en A, 

alors: `BC^2=AB^2+AC^2`

Exemple

EFG est un triangle rectangle en F tels que EF=2 et EG=6 on calcule le coté FG

On a EFG est un triangle rectangle en F alors D'après le théorème de Pythagore direct: 

`EG^2=EF^2+FG^2`

Alors `FG^2=EG^2-EF^2`

Alors `FG^2=6^2-2^2`

Alors  `FG^2=36-4`

Alors  `FG^2=32`

D'où   `FG=\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt2`

Réciproque du théorème de Pythagore 

Propriété

Si ABC est un triangle tel que :  `BC^2=AB^2+AC^2`

Alors : ABC est un triangle rectangle en A 

Exemple

Soit ABC un triangle tel que: AB=4 et BC=3 et AC= 5

Montrons que le triangle ABC est rectangle en précisant en quel sommet.

On a `AB^2=16` et  `AC^2=25` et `BC^2=9`

Alors `AC^2=BC^2+AB^2`

Donc d'après la réciproque du théorème du Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B 

AC est l'hypoténuse 

Méthode 

- Pour calculer la mesure d'un coté, on utilise le théorème de Pythagore

- Pour montrer qu'un triangle est rectangle on utilise la réciproque du théorème de Pythagore 

Trigonométrie

Définition

Cosinus d'un angle aigu 

`Cos\hat C=\frac{langueur\ du\ coté\ adjacent\ à\ \hat C\}{langueur\ de \ l'hypotén use}=\frac{AC}{BC}`

Sinus d'un angle aigu 

`Sin\hat C=\frac{langueur\ du\ coté\ opposé\ à\ \hat C\}{langueur\ de \ l'hypotén use}=\frac{AB}{BC}`

Tangente d'un angle aigu 

`tan\hat C=\frac{langueur\ du\ coté\ opposé\ à\ \hat C\}{langueur\ du\ coté\ \adjacent}=\frac{AB}{AC}`

Exemple

Soit MNO un triangle rectangle en O tel que: ON=8 et OM=6 et MN=10

On a:

- `\sin\hat M=\frac{ON}{MN}=\frac8{10}=\frac4{5}`

- `\cos\hat M=\frac{OM}{MN}=\frac6{10}=\frac3{5}`

- `\tan\hat M=\frac{ON}{OM}=\frac8{6}=\frac4{3}`

Propriété 1

Si x est la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle, alors :

- `0<Cosx<1` et  `0<Sinx<1`

- `\cos^2x+\sin^2x=1`

- `\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}`

Exemple 

x est la mesure d'un angle aigu sachant que `cosx=\frac{1}{2}`, on calcule `sinx`

On a `\cos^2x+\sin^2x=1`

Alors `\sin^2x=1-\cos^2x`

Alors `\sin^2x=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}`

et comme `0<Sinx<1`

D'où `\sin x=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}`

On en déduit la tangente de x

On a `\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}`

Alors `\tanx=\frac{\frac{\sqrt3}2}{\frac{1}2}=\frac{\sqrt3}1=\sqrt3`

Propriété 2

Soit a et b deux mesures de deux angles aigus.

Si `a+b=90^\circ`; on dit que a et b sont complémentaires 
Alors `cosa=sinb` et `sina=cosb` 

et `\tan a=\frac{1}{\tan b}`

Exemple

On simplifie l'expression suivante:

`A=\cos^2 20^\circ+\cos^2 30^\circ+\cos^2 70^\circ``-\sin^2 60^\circ+\tan27^\circ\times\tan63^\circ`

On remarque que 20+70=90 alors `\cos20=\sin70`

et 30+60=90 alors `\cos30=\sin60`

et 17+63=90 alors `\tan 17=\frac{1}{\tan 63}`

Donc A devient 

`A=\cos^2 20^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 20^\circ``-\sin^2 60^\circ+\tan27^\circ\times\frac1{\tan27^\circ}`
Alors
`A=(\cos^2 20^\circ+\sin^2 20^\circ)+\sin^2 60^\circ``-\sin^2 60^\circ+1`
`A=1+1=2`

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