les racines carrées troisième année collège biof

 les racines carrées troisième année collège biof: cours et exercices corrigés PDF

Prérequis

• Utilisation de l’égalité `\sqrt{a^2}=(\sqrt a)^2=a ` pour a un nombre rationnel et positif;
• Calcul des valeurs approchées du nombre de `\sqrt{a}`, a un nombre rationnel positif;
• Opérations et techniques sur les nombres rationnels;
• Théorème de Pythagore.

Compétences

• Connaître et utiliser la racine carrée d’un nombre positif en algèbre et en géométrie;
• Connaître et utiliser les règles de calcul sur les racines carrées.

Prolongement

• Calcul des distances;
• Résolution des équations et des inéquations.

Définition

a désigne un nombre positif

La racine carrée du nombre a est le nombre dont le carré est a

On écrit: `\sqrt a^2=a` , a est un nombre rationnel positif

Exemple

`\sqrt 3^2=3`    `\sqrt 1=\sqrt 1^2=1` 

`\sqrt 0=0`       `\sqrt 16=\sqrt 4^2=4`

`\sqrt{\frac{49}{25}}=\sqrt{\frac{7^2}{5^2}}=\sqrt{\left(\frac7\5\right)^2}=\frac7\5`

Opérations

Propriété

a et b deux nombres rationnel positifs non nuls

 on a :

`\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}\times\sqrt b=a\sqrt b`

`\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{a\times b}`

Exemple

`\sqrt 3\times\sqrt 5=\sqrt{3\times 5}=\sqrt 15`

`\sqrt{4\times5}=\sqrt4\times\sqrt5`

  `=\sqrt{2^2}\times\sqrt5=2\sqrt5`

Propriété

a est un nombre rationnel positif

b est un nombre rationnel positif non nul on a :

`\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac a\b}`

`\sqrt{\frac1\b}=\frac1{\sqrt b}`

Exemple

`\frac{\sqrt 18}{\sqrt2}=\sqrt{\frac18\2}=\sqrt 9=3`

`\sqrt{\frac{16}9}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt9}=\frac4\3`

Propriété

a est un nombre rationnel positif

b est un nombre rationnel positif non nul

rendre un dénominateur rationnel

`\frac a{\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{\sqrt{b^2}}=\frac{a\sqrt b}b`

`\frac a{\sqrt a+\sqrt b}`

`=\frac{a\left(\sqrt a-\sqrt b\right)}{\left(\sqrt a+\sqrt b\right) \left(\sqrt a-\sqrt b\right) }`

`=\frac{a\left(\sqrt a-\sqrt b\right)}{\sqrt a^2- \sqrt b^2}`

`=\frac{ a\left(\sqrt a-\sqrt b\right)}{ a-b}`

Exemple

`\frac 2{\sqrt 7}`

`=\frac{2\sqrt 7}{\sqrt 7^2}`

`=\frac{2\sqrt 7}7`

`\frac 5{1-\sqrt 3}`

`=\frac{5\left(1+\sqrt 3\right)}{\left(1-\sqrt 3\right) \left(1+\sqrt 3\right) }`

`=\frac{5\left(1+\sqrt 3\right)}{1- \sqrt 3^2}`

`=\frac{ 5\left(1+\sqrt 3\right)}{ 1-3}`

`=\frac{ 5\left(1+\sqrt3\right)}{ -2}`

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